ÉquipeSecondaire an Schoulen

Linearschrëft an eenheetleche differentiell Equatioun vun der éischter Bestellung. Beispiller vu Léisungen

Ech mengen sollen mir mat der Geschicht vun der glorräich mathematesch Instrument wéi Differentialequatiounen ufänken. Wéi all differentiell an integral d, goufen dës Equatioune vum Newton am spéiden 17. Joerhonnert erfonnt. Hien huet gegleeft, et war seng Entdeckung sou wichteg, datt och d'verschlësselte Message, deen haut wéi follegt ginn iwwersat kann: ". All d'Gesetzer vun der Natur vun Differentialequatiounen beschriwwen" Et kann een iwwerdreiwen schéngen, mä et ass richteg. All Gesetz vun der Physik, Chimie, Biologie, kënnen duerch dës Equatioune beschriwwe ginn.

Eng enorm Bäitrag zu der Entwécklung an Kreatioun vun der Theorie vun Differentialequatiounen hunn Mathematik vun Euler an Lagrange. Schonn am 18. Joerhonnert si entdeckt an entwéckelt wat elo ass an der Profiséquipe Uni Coursen studéiert.

Eng nei Meilesteen an der Etude vun Differentialequatiounen ugefaang merci ze Anri Puankare. Hien eng "qualitative Theorie vun Differentialequatiounen", deen, mat der Theorie vun Funktiounen vun komplex Verännerlechen kombinéiert vill vun topology zu der Grënnung bäigedroen - der Wëssenschaft vun Raum an hir Wunnengen.

Wat sinn Differentialequatiounen?

Vill Leit sinn Angscht vun den Ausdrock "differentiell Equatioun". an dësem Artikel Ee, wäerte mir am Detail der Essenz vun dëser ganz nëtzlech mathematesch Outil deen als komplizéiert eigentlech net ass Formatioun aus wéi se aus dem Titel schéngt. Fir eng éischte-Commande differentiell Equatioun ze schwätzen iwwer ze fänken, muss dir éischt mat der Basis Konzepter besser kréien dass u mat dëser Definitioun verbonne sinn. A mir wäert mat der differentiell ufänken.

differentiell

Vill Leit wëssen dat Begrëff well Lycée. Allerdéngs agespaart nach op et am Detail. Stellt der Grafik vun der Funktioun. Mir kënnen et zu esou engem Mooss Erhéijung datt all vu sengem Segment enger riichter Linn gëtt. Et wäert zwee Punkten huelen dass zu all aner onendlech no sinn. D'Differenz tëscht hir Koordinaten (x oder y) ass infinitesimal. An et ass differentiell genannt a Personnagen bestëmmen gekierzt (differentiell vun y) an dx (de differentiell vun x). Et ass wichteg ze verstoen, datt d'differentiell net den ultimate Wäert ass, an dat ass de Sënn an den Haaptgrond Funktioun.

An elo muss Dir den folgenden Elementer betruecht, déi mer brauchen wäert de differentiell Equatioun Konzept ze erklären. Et - kuckt virdrun.

kuckt virdrun

All vun eis hu mussen an der Schoul an dëser Notioun héieren. Si soen, datt d'ADR - ass den Taux vun Wuesstem oder erofgoen vun der Funktioun. Allerdéngs gëtt dës Definitioun méi konfus. Loosst eis probéieren d'ADR Begrëffer vun der Differenzielle ze erklären. Loosst d'dem infinitesimal November Funktioun mat zwee Punkten zerëck, déi bei engem Minimum Distanz vun all anere etabléiert sinn. Awer och doriwwer eraus dëser Distanz Funktioun ass Zäit fir e puer Wäert ofzesécheren. An datt änneren beschreiwen an kommen an mat e kuckt virdrun um datt anescht wéi d'Verhältnis vun der Differenzielle geschriwwe ginn hätt: f (x) "= DF / dx.

Elo ass et néideg der Basis Eegeschafte vun der ADR zu betruecht. Et sinn nëmmen dräi:

  1. Kuckt virdrun Zomm oder d'Differenz kann als d'Zomm oder Ënnerscheed vun der dësem Projet vertruede ginn: (e + b) = e "+ b", an (AB) "= a'-b".
  2. Déi zweet Propriétéit ass mat ëmmer méi connectéiert. Kuckt virdrun Wierker - ass d'Zomm vun de Wierker vun eent Funktioun an en anert, kuckt virdrun: (e * b) = e "* B + engem * b".
  3. D'ADR vun der Differenz kann als folgend Equatioun geschriwwe ginn: (e / b) "= (e '* BA * b) / b 2.

All dës Funktiounen kommen an praktesch fir Léisungen ze fannen Equatioune vun der éischter fir differentiell.

Och, do sinn partiell dësem Projet. Stellt mer eng Funktioun vun der Z hunn, déi op der Verännerlechen x an y hänkt. Fir d'partiell kuckt virdrun vun dëser Funktioun, zum Beispill Berechent, an x, brauche mir d'Variabel y fir konstant an einfach ze differenzéieren ze huelen.

integral

Aner wichteg Konzept - integral. An Tatsaach ass et de Géigendeel vun kuckt virdrun. Integrals sinn verschidden Zorte, mä de einfach Léisungen vun Differentialequatiounen, brauchen mir déi kleng onbestëmmten integrals.

Also, wat ass de integral? Loosst d'soen mer f vun x puer Relatioun hunn. Mir huelen aus et der integral a kritt eng Funktioun F (x) (et oft un als Ongewéinlech bezeechent gëtt), déi e kuckt virdrun vun der Original Funktioun ass. Dofir F (x) "= f (x). Dëst beinhalt och, dass d'integral vun der ADR fir d'original Funktioun selwecht ass.

An léisen Differentialequatiounen ass et ganz wichteg d'Bedeitung a Funktioun vun der integral ze verstoen, well se ganz oft als Konsequenz hunn Léisungen ze fannen.

Déi Equatioune gi verschidde jee hir Natur. An den nächsten Rubrik wäerte mir um Zorte vu éischt Commande Differentialequatiounen kucken, an dann léieren, wéi se ze léisen.

Klassen vun Differentialequatiounen

"Diffury" vun der Commande vun dësem Projet ënnerdeelt an hinnen Équipe. Sou ass et eng éischt, zweeter, drëtter oder méi Uerdnung. Si kann och nees e puer Klassen opgedeelt ginn: gewéinlech a partiell.

An dësem Artikel, wäerte mir déi gewéinlech Differentialequatiounen vun der éischter Bestellung betruecht. Beispiller a Léisungen diskutéieren mer am folgende Sektiounen. Mir betruecht nëmmen de TAC well et am meeschte gemeinsam Zorte vu Equatioune ass. Gewéinlech opgedeelt subspecies: mat separable Verännerlechen, eenheetleche an heterogen. Nächst wäert Iech léieren, wéi se aus all aneren ënnerscheeden, an léieren wéi se ze léisen.

Zousätzlech, kann dës Equatioune kombinéiert ginn, sou datt der mer e System vun Differentialequatiounen vun der éischter Uerdnung kréien. Esou Systemer, kucken mer och op a léiere wéi ze léisen.

Firwat sinn que mir just déi éischt Commande? Well et noutwendeg ass mat engem einfachen ufänken an all mat Differentialequatiounen verbonne beschreiwen, an engem eenzegen Artikel ass et onméiglech.

Equatioune mat separable Verännerlechen

Dat ass vläicht déi einfach differentiell éischt Commande Equatioune. Dës si Beispiller, datt esou geschriwwe ginn: y "= f (x) * f (y). Fir dës Equatioun léisen brauchen mir der Representatioun Formule vun der ADR als Verhältnis vun der Differenzielle: y "= gekierzt / dx. Mat se kréien mir der Equatioun: gekierzt / dx = f (x) * f (y). Elo kënne mir op der Method vun léisen Standard Beispiller Tour: separat der Verännerlechen an Deeler, dh séier vir all Variabel y am Deel wou et gekierzt ass, an och d'Variabel x maachen ... Mir kréien eng Equatioun vun der Form: gekierzt / f (y) = f (x) dx, déi duerch d 'integrals vun den zwee Deeler erreecht ass. Net iwwer de konstante vergiessen, dass Dir an der Integratioun fir säi wëllen.

Der Léisung vun all "diffura" - ass eng Funktioun vun x vun y (an eisem Fall), oder wann et engem z'identifizéieren Zoustand ass, ass d'Äntwert eng Zuel. Loosst eis e konkret Beispill déi ganz natiirlech vun der Décisioun ënnersicht:

y "= 2y * Sënn (x)

Transfermaart der Verännerlechen a verschiddene Richtungen:

gekierzt / y = 2 * Sënn (x) dx

Elo der integrals huelen. All vun hinne kann an engem speziellen Dësch vun integrals fonnt ginn. A mir kréien:

Am (y) = -2 * Cos (x) + C

Wann néideg, kënne mir de "y" als Funktioun vun "X" auszedrécken. Elo kënne mir soen, dass eis differentiell Equatioun ass geléist, wann net Conditioun uginn. Kann Conditioun uginn ginn, zum Beispill, y (n / 2) = E. Da wäerte mir einfach de Wäert vun dëse Verännerlechen an der Decisioun Auswiesselspiller an de Wäert vun der konstante fannen. An eisem Beispill ass et 1.

Eenheetleche éischt Commande Differentialequatiounen

Elo op der méi komplex Deeler. y "= Z (x, y): eenheetleche éischt Commande Differentialequatiounen kann wéi am Allgemengen Form geschriwwe ginn. Et soll feststellen, dass d'Recht Funktioun vun zwee Verännerlechen ass eenheetlech, an et kann net an zwou je ënnerdeelt ginn: Z x an Z vun y. Kontrolléieren ob der Equatioun eenheetleche ass oder net, ass ganz einfach: mir maachen de Wiessel x = K * x an y = K * y. Elo geschnidde mir all k. Wann dës Buschtawen ewechgelooss ginn, da eenheetleche der Equatioun a kann Fluchtweeër fir seng Léisung vir. Gedanke, soe mer: de Prinzip vun der Léisung vun dëse Beispiller och ganz einfach ass.

Mir brauchen op d'wéilt maachen: y = T (x) * x, wou t - eng Funktioun, déi och op x hänkt. y '= t "(x) * x + t: Da kënne mir d'ADR auszedrécken. Substituting all dës an eisen original Equatioun a vereinfacht et, hu mer d'Beispill vun der Trennung vu Verännerlechen t den x. Léisen et an kritt der Ofhängegkeet vun T (x). Wann mir et ass, einfach eis virdrun wéilt y = t Auswiesselspiller (x) * x. Dunn hu mer d'Ofhängegkeet vun y op x kritt.

x * y "= yx *: stoung et kloer, soll mir e Beispill verstoen E y / x.

Wann Check ageholl vun all zréckgeet. Also ass d'Equatioun wierklech eenheetleche. Elo anere wéilt eng Auswiesselung maachen, mir geschwat: y = T (x) * x an y '= t "(x) * x + T (x). No Vereinfachung folgend Equatioun: t '(x) * x = -e t. Mir decidéieren enger Prouf mat getrennt Verännerlechen ze kréien a mir kréien: E -T = Am (C * x). Mir brauchen just t ze schounen vun y / x (well wann y t * x =, da t = y / x), a mir kréien d'Äntwert: E -y / x = Am ( x * C).

Linearschrëft differentiell Equatioun vun der éischter fir

Et ass Zäit aner breet Sujet ze betruecht. Mir wäerten am Wanterschlof heterogen éischte-Commande Differentialequatiounen. Wéi ënnerscheeden se aus dem virdrun zwee? Loosst d'et Gesiicht. Linearschrëft éischt Commande Differentialequatiounen am allgemengen Form vun der Equatioun kann esou geschriwwe ginn: y "+ g (x) * y = Z (x). Et soll Souzesoen datt Z (x) an g (x) konstante Werter gin kann.

Hei ass e Beispill: y "- y * x = x 2.

Et ginn zwou Méiglechkeeten ze léisen, a mir fir eis zwee vun hinnen ënnersicht Loosst. Déi éischt - d'Method vun Variant vun arbiträr léisst.

Zu der Equatioun an dëser Manéier léisen, ass et néideg déi éischt riets-Säit op null ze näämlech, a léisen déi doraus resultéierend Equatioun, déi no der Transfert vun Deeler gëtt:

y "= y * x;

gekierzt / dx = y * x;

gekierzt / y = xdx;

Am | y | = x 2/2 + C;

y = E x2 / 2 * C y = C 1 * E x2 / 2.

Elo ass et néideg de konstante C 1 iwwert d'Funktioun V (x) ze schounen, déi mir fanne wäert.

y = V * E x2 / 2.

Molen Ersatz kuckt virdrun:

y "= V" * E x2 / 2 -x * V * E x2 / 2.

An dës Ausstralung an der Original Equatioun substituting:

V "* E x2 / 2 - x * V * E x2 / 2 + x * V * E x2 / 2 = x 2.

Du kanns si vun der rietser Säit vun der zwee Begrëffer reduzéiert gesinn dat. Wann e puer Beispill dass net gemaach geschéien, dann hutt Dir eppes falsch gemaach. Mir weiderhin:

V "* E x2 / 2 = x 2.

Elo léisen mer der gewinnt Equatioun an deem dir de Verännerlechen ze trennen wëllen:

DV / dx = x 2 / E x2 / 2;

DV = x 2 * E - x2 / 2 dx.

Fir de integral ewechzehuelen, musse mir d'Integratioun vun Deeler hei gëllen. Mä dat ass net d'Thema vun dësem Artikel. Wann Dir interesséiert bass, kanns du op hir eege léieren esou Aktiounen ze üben. Et ass net schwéier, an mat genuch Fäegkeet a Betreiung ass net Zäit Konsuméiere.

Referenz fir d'zweet Method der Léisung vun der inhomogeneous Equatioune: Bernoulli Method. Wat Approche ass méi séier a méi einfach - dat ass bis zu Iech.

Also, wann dës Method léisen, mussen mir de wéilt maachen: y = K * n. Hei, K a n - verschidde Funktiounen je x. Da gëtt der, kuckt virdrun kucken wéi: y "= k '* N + K * n'. Auswiesselspiller zwee Auswiesselungen an der Equatioun:

k '* N + K * n ' + x * k * N = x 2.

Grupp weider:

k '* N + K * ( n' + x * n) = x 2.

Elo ass et néideg op null ze näämlech, datt am parentheses ass. Elo, wann Dir déi zwee schéine Equatioune kombinéieren, kréien mir e System vun éischt Commande Differentialequatiounen geléist ginn:

n '+ x * N = 0;

k '* N = x 2.

Déi éischt Gläichheet decidéieren wéi den üblechen Equatioun. Maachen dëst, braucht Dir de Verännerlechen ze trennen:

DN / dx = x * V;

DN / N = xdx.

Mir huelen déi integral an mir kritt: Am (n) = x 2/2. Dann, wa mer ausdrécklech n:

n = E x2 / 2.

Elo Auswiesselspiller déi doraus resultéierend Equatioun an der zweeter Equatioun:

k '* E x2 / 2 = x 2.

An transforméiert, mir déi selwecht Equatioun wéi an der éischter Method kritt:

wees = x 2 / E x2 / 2.

Mir wäerten och net weider Aktioun diskutéieren. Et gëtt gesot, dass am éischte éischte-Commande Differentialequatiounen Léisung bedeitend Schwieregkeeten bewierkt. Allerdéngs ass eng déif immersion am Sujet ab besser a besser ze kréien.

Wou sinn Differentialequatiounen?

Ganz aktiv Equatioune differentiell an der Physik gebraucht, wéi bal all d'fundamental Gesetzer an differentiell Form geschriwwe sinn, an déi Formelen, datt mir gesinn - eng Léisung fir dëse Equatioune. An Chimie, si si fir déi selwecht Ursaach benotzt: d'Basis Gesetzer duerch hinnen ass ofgeleet. An Biologie, sinn d'Differentialequatiounen benotzt d'Behuele vun Systemer, wéi Patronat ze Modell - Kaz. Si kann och ze schafen Modeller vun Reproduktioun gebraucht ginn, zum Beispill, Kolonie vun microorganisms.

Als Differentialequatiounen am Liewen hëllefen?

D'Äntwert op dës Fro ass einfach: näischt. Wann Dir net engem Wëssenschaftler oder Ingenieur sinn, ass et onwahrscheinlech, datt si nëtzlech ginn. Allerdéngs schueden, weess net wat der differentiell Equatioun agefouert an et ass fir d'allgemeng Entwécklung geléist. An dann d'Fro vun engem Jong oder Meedchen, "wat eng differentiell Equatioun?" huet Iech net an engem dout Enn. Gutt, wann Dir e Wëssenschaftler oder Ingenieur sinn, da wësst Dir d'Wichtegkeet vun dësem Thema an all Wëssenschaft. Mee Wichteg, dass elo zu der Fro "wéi de differentiell Equatioun vun der éischter Uerdnung ze léisen?" Dir wäert kënnen ze ëmmer eng Äntwert ginn. Averstanen, ass et ëmmer flott wann een mierken, datt aus wat Leit sinn esouguer Angscht ze fannen.

D'Haaptrei Problemer an der Etude

Den Haaptproblem am Verständnis vun dësem Thema ass eng schlecht Gewunnecht vun Integratioun an dat Funktiounen. Wann Dir onwuel beweis dësem Projet an integrals sinn, ass et wahrscheinlech méi Wäert ze léieren, verschidde Methoden vun Integratioun an dat ze léieren, an nëmmen dann zu der Etude vun der Material vir, datt am Artikel beschriwwe ginn ass.

E puer Leit sinn iwwerrascht, datt dx ze léieren kann transferéiert ginn, wéi virdrun (an der Schoul) argumentéiert dass d'Ëmwandlung gekierzt / dx indivisibel ass. Da muss du der Literatur op der kuckt virdrun ze liesen an ze verstoen, datt et der Astellung vun onendlech kleng Quantitéite ass, déi an léisen Equatioune manipuléiert kann.

Vill Leit mierken nët direkt, datt d'Léisung vun Differentialequatiounen vun der éischter Bestellung - dat ass oft eng Funktioun oder neberuschiysya integral, an dëst illuminanter gëtt hinnen vill Ierger.

Wat kann soss zu besser verstoen studéiert ginn?

Et ass bescht weider immersion an der Welt vun differentiell d vun spezialiséiert Léierbicher ufänken, zum Beispill, am mathematesch Analyse fir Schüler vun Net-mathematesch Spezialitéiten. Dir kënnt dann zu de méi spezialiséiert Literatur plënneren.

Et gëtt gesot, dass, zousätzlech zu der differentiell, et nach integral Equatioune sinn, also Dir wäert ëmmer eppes fir ze verpflichte hunn a wat ze studéieren.

Konklusioun

Mir hoffen, datt dësen Artikel no liesen Iech eng Iddi vun hun gëtt wat d'Differentialequatiounen a wéi se richteg ze léisen.

An all Fall, Mathematik an all Manéier nëtzlech fir eis am Liewen. Et entwéckelt Logik an Opmierksamkeet, ouni déi all Mënsch, well ouni Hänn.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 lb.birmiss.com. Theme powered by WordPress.