Derivativer vun Zuelen: Berechnungsmethoden an Beispiller

Vläicht d'Konzept vun kuckt virdrun ass fir all vun eis zënter Lycée kennt. Normalerweis hunn d'Schüler Schwieregkeeten domat ze verstoen, ganz sécher, ganz wichteg. Et ass aktiv an deene verschiddene Beräicher vum Liewen vun de Leit benotzt ginn, a vill technesch Entwécklung huet op mathematesch Berechnungen baséiert mat der Hëllef vun der Derivat. Awer ier mer an d'Analyse vun deem wat d'Derivativer vun de Zuelen si sinn, wéi se ze berechnen sinn a wou se nëtzlech sinn fir eis, wäerte mir e bësse an d'Geschicht stierwen.

Geschicht

Den Konzept vun der Derivat, dat ass d'Basis vun der mathematescher Analyse, war opgemaach (et ass besser nach "erfonnt" ze soen, well an der Natur et net sou existéiert huet) vum Isaac Newton, deen mir all duerch d'Entdeckung vum Gesetz vun der universeller Gravitatioun wësse. Et war deen deen deen Konzept an der Physik fir d'éischt d'Geschwindegkeet an d'Beschleunigung vun de Kierper verbënnt. A villen Wëssenschaftler hunn nach ëmmer Newton fir dës wonnerbar Erfindung Erfindung lancéieren, well hien erfonnt d'Basis vun der Differential- an Integralrechnung, tatsächlech d'Basis vun engem kompletten Feld mat der Mathematik "mathematescher Analyse". Obwuel zu deem Zäit de Nobelpräis, Newton hätt am meeschten wahrscheinlech e puer Mol kritt hunn.

Net ouni d'aner gutt sinn. Nieft dem Newton hu sech sougenannt Genialen vu Mathematik wéi Leonard Euler, Louis Lagrange an Gottfried Leibniz op d'Entwécklung vun der Derivat an integral. Et ass dank hinnen mir der Theorie vun hun differentiell d an der Form an deem et zu dësem Dag existéiert. Duerch dës Manéier huet dës Leibniz d'geometresch Bedeitung vun der Derivat entdeckt, déi net méi wéi d'Tangente vum Neigungswénkel vum Tangent bis op d'Graf vun der Funktioun ass.

Wat sinn d'Ausgab? Mir widderhuelen e klengt wat an der Schoul ass.

Wat ass eng Derivat?

Dir kënnt dëse Konzept op verschiddene Weeër definéieren. Déi einfachst Erklärung: D'Derivat ass de Changement vun enger Funktioun. Mir vertrieden d'Graf vun e puer Funktioun y vun x. Wann dat net eng richteger Linn ass, ass et e puer Bande an der Grafik, d'Periodë vun der Erhéijung a Verkéiers. Wa mir eng onendlech kleng Intervall vun dësem Graf huelen, wäert et e Geriicht Segment sinn. Also, de Verhältnis vun der Gréisst vum onendlech klengt Segment entlang der Koordinate y bis d'Gréisst vun der Koordinate x ass d'Derivat vun der gegebene Funktioun op enger Punkt. Wann mir d'Funktioun als Ganzt an iwwer e bestëmmten Punkt halen, da kréie mir eng Funktioun vun der Derivat, also eng gewësse Abhängnis vum Spill op x.

Niewent der kierperlecher Sëcherheet vun der Derivat als Changement vun der Funktioun ass och e geometreschen Sënn. Iwwert him, schwätze mer elo.

Geometresch Bedeitung

D'Derivativer vun den Zuelen selwer stellen eng gewësser Zuel duer, déi ouni eegent Verständnis keen Sënn sinn. Et stellt sech eraus datt d'Derivat net nëmmen de Taux vum Wuesstem oder d'Verhënnerung vun der Funktioun, awer och de Tangent vum Hang vun der Tangential zum Diagramm vun der Funktioun zu enger gegebene Punkt. Net ganz kloer Definitioun. Loosse mer eis am Detail kucken. Stellt eis eng Graf vun enger Funktioun (fir Interessi, lass eis eng Kurve huelen). Et huet eng onendlech Zuel vu Punkten, awer et sinn Gebidder wou nëmmen een eenzegen Punkt e Maximum oder e Minimum ass. Duerch irgendeng Manéier kënnt Dir eng Zeil ze zéien, déi an der Rei vun der Funktioun zu deem Punkt senkrecht ass. Sou eng Zeil gëtt als Tangent bezeechent. Stellt eis op d'Kräizung mat der OX Achs. Also de Wénkel tëscht der Tangente an der OX-Achs gëtt vu der Derivatioun bestëmmt. Oder d'Tangante vun dësem Wénkel wäert et sinn.

Loosst e bëssen iwwer speziell Fäll probéieren an analyséiert d'abegraff Zifferen.

Spezialfäegkeeten

Wéi mir gesot hunn, sinn d'Derivaten vun Zuelen d'Wäerter vun der Derivat op e bestëmmten Punkt. Hei, zum Beispill, huelt der Funktioun y = x ^2. D'Derivat x ass eng Zuel, an am allgemengen Fall ass eng Funktioun gleewen 2 x. Wa mir der ADR, zum Beispill, um Punkt x ₀ = 1 bis Berechent brauchen, kréien mir y "(1) = 2 * 1 = 2 . Et ass ganz einfach. Eng interessant Fall ass d'ADR vun der komplex Zuel. Mir ginn net an enger detailléierter Erklärung wat fir eng komplex Zuel ass. Loosst eis just soen datt dëst eng Zuel déi der sougenannter imaginärer Eenheet enthält - eng Nummer wou säi Quadrat -1 ass. D'Berechnung vu sou en Derivat ass nëmme méiglech wann déi folgend Bedingunge present sinn:

1) Et muss deelweis Derivate vun der éischt Uerdnung vun den realen a imaginären Deel an der Spill an am x existéieren.

2) De Cauchy-Riemann Conditioune erreecht sinn, verbonne mat der Gläichheet vun den deelweisen Derivate, déi am éischte Paragrappi beschriwwe sinn.

E weideren interesséiren Fall, obwuel net esou komplex wéi déi virdrun, ass d'Derivat vun enger negativer Nummer. Tatsächlech kann eng negativ Zuel kann als positiv bezeechent ginn, multiplizéiert mat -1. Mä d'Derivat vun der konstanter an der Funktioun ass gläich wéi déi konstante multiplizéiert mat der Derivativ vun der Funktion.

Et wäert interessant sinn fir iwwer d'Roll vun der Derivat am Alltag ze léieren, an dat ass wat mir eis elo diskutéieren.

Applikatioun

Wahrscheinlech, jiddereen vun eis op mannst eemol am Liewen fënnt sech un datt d'Mathematik et kaum nëtzlech ass fir hien. An esou eng komplex Saach wéi d'Derivat, wahrscheinlech, huet keng Applikatioun. Tatsächlech Mathematik ass eng fundamental Wëssenschaft, an all hir Uebst ass haaptsächlech vun der Physik, der Chemie, der Astronomie a souguer deronomescher Entwécklung entwéckelt. Kuckt virdrun markéiert Ufank vun mathematesch Analyse, déi eis d'Méiglechkeet huet Conclusiounen aus der Grafike vun Funktiounen ze zéien, a mir geléiert hunn d'Gesetzer vun der Natur ze virzegoen an béit se wéinst et zu hirem Virdeel.

Conclusioun

Natierlech kënnen net jidderee mat engem Derivat am realen Liewen brauchen. Mä mat der Mathematik entwéckelt eng Logik déi sécher ass néideg. Et ass net fir näischt datt d'Mathematik d'Kinnigin vun de Wëssenschaften heescht: si bildet d'Basis fir Verständnis vun aneren Wësse vu Wëssen.