Differentialvariablen vun enger Funktioun vun engem an e puer Variablen

Differentialkalkulatioun ass en Deel mat mathematescher Analyse, déi d'Derivative, Differentiale a Gebrauch vun hirem Studium an enger Funktioun studéiert.

Geschicht vum Erscheinungsbild

De differenzielle Kalkulatioun war an der zweeter Hallschent vum 17. Joerhonnert duerch eng Wierkung vu Newton a Leibniz getrennt ginn, déi d'Basisofschloss am Differenialskalkulatioun formuléiert hunn an d'Verbindungen tëscht Integratioun a Ofdreiwung observéiert. Vun deem Moment entwéckelt d'Disziplin zesumme mat dem Kalkül vun Integralen, doduerch datt d'Basis vun der mathematescher Analyse bildet. D'Erscheinung vun dëse Berechnungen huet eng nei moderner Period an der mathematescher Welt gefrot an d'Entstehung vun neie Disziplinen an der Wëssenschaft. D'Erweiterung vun der Mathematik an der Naturwëssenschaft an der Technologie erweidert.

Grond Konzepter

Differenzielle Kalkül baséiert op de fundamentalen Konzepter vu Mathematik. Si sinn: eng richteg Zuel, Kontinuitéit an Limite vun Funktioun. No enger Wei huet si e modernen Optrëtt, well duerch integral a differenzielle Kalkulatioun.

Schafft Prozess

D'Formation vum Differentialkalkus an der Form vun der ugewandter, an dann wëssenschaftlecher Methode, ass viru der Entstehung vun der philosophescher Theorie geschitt, déi vum Nikolai Kuzansky geschaaft gouf. Seng Wierker ginn als evolutiver Entwécklungszesummenaarbecht aus der Ursaach vun der aaler Wëssenschaft. Trotz der Tatsaach, datt de Philosoph selwer net mat engem Mathematiker ass, ass säi Bäitrag zur Entwécklung vu mathematesche Wëssenschaften net ze behalen. Kuzansky war ee vun den éischten, déi d'Betrag vun der Arithmetik als de genaue Plaz vun der Wëssenschaft ze verloosse war, mat där Mathematik deemools an Zweifel zegutt.

An uralten Mathematiker ass de universelesche Kritäre eng Eenheet, de Philosoph ass als eng nei Moossnam ze verbannen an eng exzellent Nummer. An dëser Verbindung ass d'Representatioun vu Genauegkeet an der Mathematik widderkomm. Wëssenschaftlech Wëssenschaft, no him, gëtt an rational an intellektuell gedeelt. Déi zweet ass méi genee, laut dem Wëssenschaftler, well d'éischt nëmmen en ongeféiere Resultat gëtt.

Idea

Déi Basis Idee a Begleetung vun der Differentialequalitéit bezitt sech op d'Funktioun a klenge Quartiere vu bestëmmte Punkten. Fir dëst ass et néideg datt en mathematesche Apparat fir d'Studie vun enger Funktioun erstallt gëtt, wou säi Verhalen an enger klenger Noperschaft vun de festgestellten Punkten am Verhalensmuster vun engem Polynom oder enger linearer Funktioun ass. Dëst baséiert op d'Definitioun vun der Derivat an d'Differential.

D'Entstoe vun de Konzept vun der ADR war vun enger grousser Zuel vu Problemer vun natierleche Wëssenschaft a Mathematik verursaacht, déi an d'Determinatioun vun Limite Wäerter vun der selwechter Zort gefouert.

Ee vun den Haaptaufgaben, déi als Beispill bezeechent ginn, mat de Lycéen zu de Schoulmeeschteren, ass d'Determinatioun vun der Geschwindegkeet vun engem Punkt an enger gerabbelter Linn a vum Bau vun enger Tangent-Linn fir dës Bunn. D'Differential ass verknüpft mat dësem, well et méiglech ass, d'Funktioun an enger klenger Nopesch vum Punkt vun der Linearfunktioun a Fro ze nennen.

Am Verglach zum Konzept vun der Derivat vun enger Funktioun vun enger realer Gréisst ass d'Definitioun vu Differentiale einfach op eng Funktioun vun allgemenger Natur, besonnesch zum Bild vun engem euklideschen Raum op en aneren.

D 'Derivat

Loosst de Punkt an der Richtung vun der Oy-Achse bewegen, an der Zäit hu mer x, wat vu engem gewëssen Ufank ugefaangen gëtt. Schreibe sou eng Bewegung duerch d'Funktion y = f (x), déi all Kéiersmoment x vun der Koordinate vum bewegten Punkt entsprécht. Dës Funktioun an der Mechanik sollt den Gesetz vun der Bewegung genannt ginn. D'Haaptrei charakteristesche vum Newton, besonnesch ongläiche, ass der direkt dee Drorakéit. Wann de Punkt an der Aach Oy nach dem Gesetz vun der Mechanik zitt, da kritt se an der Zufalldauer x d'Koordinate f (x). Am Moment vum Moment x + Δx, wou Δx den Zäitkierper bezeechent, gëtt säi Cadinat f (x + Δx). Dëst ass wéi d'Formel Δy = f (x + Δx) - f (x) gebildet ass, déi als Inkrement vun der Funktion bezeechent gëtt. Et stellt e Wee, deen an enger Zäit vu x bis x + Δx duerchgefouert gouf.

Am Zesummenhang mam Optrëtt vun dëser Geschwindegkeet gëtt d'Ofdreiwung am Moment vun der Zäit agefouert. An enger arbiträrer Funktioun däerf d'Derivat op engem festen Punkt d'Limite (ënner der Bedingung vu senger Existenz) genannt ginn. Et kann mat bestëmmten Symboler bestëmmt ginn:

F '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, df (x).

De Prozess vun der Berechnung vun der Derivat gëtt Differentialéierung genannt.

Differenzielle Kalkül vun enger Funktioun vu ville Variablen

Dës Methode vu Kalkül gëtt an der Studie vun enger Funktioun mat verschidden Variabelen benotzt. An der Präsenz vu 2 Variablen x an y, gëtt d'partiell Derivat vu x am Punkt A als Derivat vun dëser Funktioun u x mat fixem y genannt.

Kann mat den folgenden Zeechen markéiert ginn:

F '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x oder ∂f (x, y) '/ ∂x.

Erfuerderlech Fäegkeeten

Fir Erfolleg léiere kënnen a kënnen openeen diffuséieren ze loossen, d'Kompetenzen an der Integratioun an der Differenzatioun sinn néideg. Ze maachen et méi einfach d'Differentialequatiounen ze verstoen, muss Thema, kuckt virdrun a verstane ginn onbestëmmten integral. Et huet och kee Schued fir ze léieren, fir eng Derivat vun enger implizit definéiert Funktion ze fannen. Dëst ass wéinst der Tatsaach, datt am Prozess vum Studium oft d'Integrieren an d'Differenzialitéit nëtzlech sinn.

Typen vun Differentialequatiounen

Quasi all mat verbonne Kontroll Aarbecht der Equatioune éischte-Commande differentiell, sinn do 3 Zorten vun Equatioune: eenheetleche, mat separable Verännerlechen, linear inhomogeneous.

Et sinn och méi rar Zorte vu Gleichungen: mat kompletten Differentialen, d'Bernoulli seng Equatiounen an aner.

Solutiounen

Fir unzefänken, sollt ee sech an algebraeschen Gleichungen aus dem Schoulkurs erënneren. Si beinhalten Variabelen a Zuelen. Fir d'ordinäre Gleichung ze léisen, ass et néideg, eng Serie vu Zuelen ze fannen déi de gegebene Zousaz befriedegt. Wéi och ëmmer, hunn dës Formatiounen eng eenzeg Wurzel gehalen an d'Korrektheet ze bestätegen war et just néideg fir dësen Wäert fir d'Plaz vum Unbekannten ze ersetzen.

D'Differentialequatioun ass ähnlech. Allgemeng gët dës Équatioun an der éischter Ordnung ëmfaasst:

• Onofhängeg Gréisst.
• D'Derivat vun der éischter Funktioun.
• Funktion oder ofhängeg Variabel.

A ville Fäll ass eent vun den Unbekannten, x oder y, fehlt net, awer dat ass net esou wichteg, well et néideg ass, déi éischt Derivat ouni Derivat vu héichen Oporden ze hunn, sou datt d'Léisung an d'Differentialkalkulatioun richteg sinn.

Fir d'Differentialgleichung ze léisen ass de Satz vun all Funktiounen ze fannen déi passéiert auszedrécken. Sou eng Rei vu Funktiounen déi dacks als allgemeng Léisung vun DW genannt ginn.

Integral Kalkulatioun

De integrne Kalkulatioun ass ee vun de Rubriken vun der mathematescher Analyse, déi d'Konzept vun enger integraler, de Properties and Methoden vun der Berechnung studéiert.

Oft ass d'Berechnung vun der integraler Gerechtegkeet bei der Berechnung vum Gebitt vun engem krävinflecher Figur. Dëse Beräich heescht datt d'Limit an deem d'Gebitt vun engem Polygon an enger gezeechent Figur huet fir hir allergesch ze erhéigen, während d'Säiten manner wéi all fréier uginn uginn.

Déi Haaptiddi bei der Berechnung vum Gebitt vun enger arbiträrer geometrescher Figur ass d'Berechnung vum Gebitt vun engem Rechtepter, dat heescht, datt säi Gebitt egal ass wéi d'Produkt vu Längt a Breet. Wann et ëm d'Geometrie geet, da sinn all Konstruktiounen mat engem Lineal an engem Kompass gebraucht, a da gëtt de Verhältnis vu Längt zu Breet e rationalem Wäert. Wann Dir de Gebitt vun engem Rechteck-Dreien berechent, kënnt Dir feststellen datt wann Dir de selwechte Dräifwierk niewend dem Duerf plazéiert ass, e Rechteck gebonnen ass. Am Parallelogramm gëtt de Beräich duerch eng ähnlech, awer méi komplizéiert Method berechtegt duerch e Rechteck an e Dräieck. Bei Polygonen gëtt de Gebitt iwwer d'Dreiefe gezielt gezielt.

Wann d'Bestietnis vun der Gnod vu enger arbiträrer Kurve bestëmmt gëtt, funktionnelt dës Methode net. Wann Dir et an e puer Quadraten brécht, da gëtt et onfëllt Sitzungen. An dësem Fall probéieren zwee Deckelen ze benotzen, mat Rechtecken op der Uewen an der Uewen, an dat sinn och e Funktecagramm a schliesslech net. Wichteg ass de Wee fir dës Rectangele ze briechen. Och, wann mir méi a méi Pausen daueren, da muss de Gebitt vu uewendrop an ett méigleche Wäerter konvergéieren.

Et ass néideg fir zréck an d'Methode fir op eenzel Rectangelen ze divuléieren. Et ginn zwou populär Methoden.

D'Riemann formaliséiert d'Definitioun vum integralen, vun Leibniz a Newton, wéi de Gebitt vum Ënnergriffs. An dësem Fall hu mir eis d'Zuelen, déi aus enger Rei vu vertikale Rectangelen besteet an datt déi Segmenter gewonnen hunn. Wann et eng Limit fir d'Reduktioun vun der Brech gëtt, op déi d'Gebitt vun esou enger Figur reduzéiert, gëtt dës Limit als Riemann integral vun enger Funktioun op e spezielle Intervall genannt.

Déi zweet Method ass d'Konstruktioun vum integréierten Lebesgue, deen aus senger Divisiounsreiwe an Intervalle fir Divisioun op Deel vun Deel integréiert gëtt an déi integral Saach aus de Wäerter, déi an dëse Parten erliewt ginn, kompiléiert sinn an duerno mat de entsprechende Moossnamen vun den Inhalter vun dësen Integriert ze summéieren.

Moderne Virdeeler

Een vun den Haaptleit op der Etude vum differentielle an integralen Kalkulatioun ass vum Fichtenholz, "The Course of Differential and Integral Calculus" geschriwwen. Säin Lehrbuch ass eng fundamental Hëllef an der Studie vun der mathematescher Analyse, déi vill Publikatiounen an Iwwersetzunge fir aner Sprooche verstoppt huet. Et ass fir Universitéitstudenten geschaf ginn an huet laang an enger Rei vu Educatiounsinstituten als eng vun den Haaptleit gemaach. Gitt theoretesch Daten a praktesch Fäegkeeten. Dëst gouf 1948 publizéiert.

Algorithmus vun Funktioun Research

Fir d'Methoden vun der Differentialkalkusfunktioun ze explodéieren, ass et néideg fir den Algorithmus ze bestëmmen, dee schonn definéiert ass:

1. Fannt d'Domain vun der Funktioun.
2. Fannt d'Wuerzelen vun enger geéngteeleg Gleichung.
3. Extrema ze berechnen. Fir dat ze maachen, berechnen d'Derivat an d'Punkten, wou et null gëtt.
4. Mir ersetzen de gewonnene Wäert an d'Gleichung.

Diversifikatioun vun Differentialequatiounen

DU vun der éischter Uerdnung (an anere Wierder, den Differentialkalkus vun enger Variabel) an hir Typen:

• D'Equatioun mat de Variablen ze trennen: f (y) dy = g (x) dx.
• Déi einfachst Equatiounen oder den Differentialkalkus vun enger Funktioun vun enger Variabelen hunn d'Formel: y '= f (x).
• E lineare inhomogenn DN vun der éischter Ordnung: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differentiell Equatioun: y "+ P (x) y = Q (x) y engem.
• Equatioun mat totalen Differentiale: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Differentialequatiounen vun der zweeter Ordnung an hir Typen:

• Eenheetleche linear zweete fir differentiell Equatioun mat konstante ^{Ech: y n + nëmmen "+ qy} = 0 p, q gehéiert R.
• Inhomogeneous linear zweete fir differentiell Equatioun mat konstante Ech ^{Wäert: y n + nëmmen "+ qy} = f (x).
• Eenheetleche linear differentiell ^{Equatioun: y n + p (x)} y "+ q (x) y = 0 a inhomogeneous zweet Fir ^{Equatioun: y n + p (x)} y" + q (x) y = f (x).

Differentialequatiounen vun héichen Opérateuren an hir Typen:

• Déi differentiell Equatioun agefouert, Délaie Reduktioun vun der ^{Commande: F (x, y (K} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• A linear Equatioun vun héijer Uerdnung ^{_{eenheetleche: y (n) + f (}} dräi ₁₎ y ^(n-1) + ... + F ₁ y "+ f ₀ y = 0 a ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + F ₁ y "+ f ₀ y = f (x).

Schrëtt a léisen ee Problem mat enger Differentialgleichung

Mat der Hëllef vun der DU, ginn net nëmmen mathematesch oder kierperlech Froe geléist, awer och verschidde Problemer vu Biologie, Wirtschaft, Soziologie a soss. Trotz enger breeder Unitéit vu Suen, sollt Dir eng eenzeg logesch Reesfolge maachen wann Dir esou Problemer léist:

1. Zeechnen den DM. Een vun de schwéiersten Etappen, déi maximal Genauegkeet erfuerderlech sinn, well all Irgendwie falsch falsch Resultater féieren. Et ass néideg, all Faktoren déi de Prozess beaflosse musst berücksichtegen an d'initial Bedingunge bestëmmen. Et soll och op Fakten a logesch Inferenzen baséieren.
2. D'Solutioun vun der kompiléiert Equatioun. Dëse Prozess ass méi einfach wéi deen éischte Punkt, well et erfuerderlech just mat mathematesche Berechnungen erfuerderlech sinn.
3. Analyse an Evaluatioun vun de Resultater. Déi entstinn Léisung sollt evaluéiert ginn fir den prakteschen a theoreteschen Wäert vum Resultat z'erhalen.

E Beispill fir d'Benotzung vun Differentialgleichungen an der Medizin

De Gebrauch vum DM am Bereich vun der Medizin ass an der Konstruktioun vun engem epidemiologeschen mathematesche Modell. Et sollt net vergiessen datt dës Équiliber och an der Biologie a der Chemie passen, déi no der Medizin sinn, well et wichteg ass fir déi verschidden biologesch Populatiounen a chemesche Prozesser am mënschleche Kierper ze studéieren.

Am Beispiller mat der Epidemie ass et méiglech, d'Verbreedung vun der Infektioun an enger isoléierter Gesellschaft ze betraff. D'Awunner ginn an dräi Arten ënnerdeelt:

• D'Infektiounsnummer x (t), déi aus Individuen besteet, Infektiounsbetreiber, déi all opbestallt sinn (d'Inkubatiounstemperatur ass kuerz).
• Déi zweet Arten beinhalt de empfindlëch Leit vun y (t), déi amgaang ze contractéieren wann se an der Kontakt mat der infizéierter ginn.
• Déi drëtt Arten beinhalt d'net-empfänglich Individuen z (t), déi immun oder stierwen wéinst der Krankheet sinn.

D'Zuel vu Leit ass konstant, Gebuertsrecords, natierlechen Doud an Migratioun ginn net berücksichtegt. Et gëtt zwou Hypothesen an der Basis.

De Prozentsaz vun der Morbiditéit zu enger bestëmmter Zäit ass x (t) y (t) (d'Hypothie baséiert op der Theorie datt d'Zuel vu Fällen proportional zum Zesummesetzung vun de Grenze vu Patiente an empfännege Vertrieder ass, déi an der éischter Approche proportional zu x (t) y (t) Dowéinst ass d'Zuel vu Fällen an d'Zuel vun empfänzerlechen Leit mat der Geschwindegkeet verringert, déi duerch d'Formel ax (t) y (t) (a> 0) berechent gëtt.

D'Zuel vun onersetzleche Persounen, déi Immunitéit krut oder gestuerwe wäerte mat enger Unzuel proportional zum Zuel vu Fällen, bx (t) (b> 0).

Als Resultat ass et méiglech, e System vun Gleichungen ze kompiléieren, déi all dräi Indikatoren berücksichtegt an d'Conclusiounen op senger Basis ze zéien.

Beispill vun der Benotzung an der Wirtschaft

Differenzielle Kalkül ass oft an der Wirtschaftsunioun. D'Haaptaufgab bei der wirtschaftlecher Analyse ass d'Uni vu Quantitéiten aus der Wirtschaft, déi an der Form vun enger Funktioun geschriwwe sinn. Dëst gëtt benotzt fir Probleemer wéi Erzéiungswäerter direkt un der Steierenerhéijung ze léisen, d'Aféierung vun de Flichte, d'Verännerungen vun der Einnahmen vun der Entreprise, wann de Wäert vun der Produktioun ännert, a wéi engem Verhältnisser kann déi ersatteg Employéën duerch nei Equipement ersat ginn. Fir dës Froen ze léisen, ass et néideg fir eng Linkfunktioun aus den uginnten Variablen ze konstruéieren, déi dann duerch Differentialkalkus studéiert ginn.

ass et oft néideg déi optimal Leeschtung vun der Wirtschafts- Sphär ze fannen: maximal Produktivitéit, déi héchsten Akommes, mannst kascht an sou op. All esou Volet ass eng Funktioun vun engem oder méi Argumenter. Zum Beispill kann d'Produktioun als Funktioun vum Aarbechtsmaart an Haaptstad considéréiert ginn. An dësem Zesummenhang, eng konvenabel Wäert fannen kënnen ze fannen déi maximal oder mindestens eng Funktioun vun engem oder méi Verännerlechen reduzéiert ginn.

Esou Problemer schafen, fir déi Dir differentiell d enger Klass vun extremal Problemer am wirtschaftleche Beräich, brauchen. Wann der Wirtschaftsindikatoren néideg ass ze minimiséieren oder als Funktioun vun aner Parameteren schreift, wäert de increment Verhältnis maximal Punkt Funktioun op d'Argumenter zu null tendéieren, wann d'increment vun der Argument fir null trëtt. Soss, wann esou eng Astellung zu engem gewësse positiv oder negativ Valeur hautdësdaags, ass der spezifizéierter Punkt net gëeegent, well déi waarden oder d'Argument falender kann ofhängeg Wäert am gewënschte Richtung geännert ginn. An differentiell d Terminologie, dat géif bedeiten, datt déi néideg Konditiounen fir maximal Funktioun ass eng null Wäert vun hirer kuckt virdrun.

D'Wirtschaft ass net Verschiddenheet Problem vun der extremum vun enger Funktioun vun e puer Verännerlechen fannen, well wirtschaftlech Indicateuren an vun villen Faktoren gemaach ginn. Esou Problemer sinn an der Theorie vun Funktiounen vun e puer Verännerlechen, d'Method vun der Berechnung differentiell gutt verstan. Esou Problemer och net nëmmen Funktioun beschwéieren a Minimum reduzéiert, mä och Aschränkungen. Dës Froen beschäftegen ze mathematesch programméiere, a si sinn mat der Hëllef vun speziell entwéckelt Methoden geléist sinn och baséiert op dëser Agence vun der Wëssenschaft.

Vun de Methode vun d differentiell an der Wirtschaft benotzt, eng wichteg Rubrik ass den ultimate Test. Am wirtschaftlech Sphär, bezitt de Begrëff fir eng Formatioun vun Methoden vu Recherche vun Variabel performant a Resultater, wann Dir de Volume vun der Kreatioun, Konsum änneren, baséiert op eng Analyse vun hirem Limite Wäerter. Limitéieren Indikatioun als ADR oder d'partiell dësem Projet mat e puer Verännerlechen.

Differentiell d vun e puer Verännerlechen - e wichtege Sujet vun mathematesch Analyse. Fir eng detailléiert Etude, kënnt Dir eng Villfalt vun den Unterrécht AIDS fir Héichschoul Institutiounen benotzen. Ee vun de bekanntste geschaf Fikhtengol'ts - "vun der differentiell an integral d." Wéi vill vun den Numm fir d'Léisung vun Differentialequatiounen vun bedeitend Wichtegkeet de Kompetenzen ze hunn mat integrals ze schaffen. Wann do eng differentiell d vun Funktiounen vun eent Variabel ass, gëtt d'Entscheedung einfach. Obwuel, soll et feststellen ginn, kënnt et déi selwecht fundamental Regelen. An der Praxis, d'Funktioun vun der differentiell d ze ermëttelen, verfollegen just d'scho bestehend Algorithmus, déi am Lycée ginn ass, an nëmmen e bësse komplizéiert mat der Aféierung vun neie Verännerlechen.