Differenzielle - wat ass dat? Wéi den Ënnerscheed vun der Funktioun ze fannen?

Mat dësem Projet hir Funktiounen Differenzielle - et e puer vun der Basis Konzepter vun der differentiell d, den Haaptgrond Rubrik vun mathematesch Analyse. Als indissociabel Hausnummeren, dicht souwuel vun hinnen e puer Joerhonnerte an léisen bal all Problemer benotzt, datt am Laf vun wëssenschaftlech an technesch Aktivitéit ausgebrach.

D'Entstoe vun der Konzept vun differentiell

Fir d'éischte Kéier war et kloer, datt esou eng differentiell, ee vun de Grënner (zesumme mat Isaakom Nyutonom) differentiell d berühmte Däitsch Mathematiker Gotfrid Vilgelm Leybnits. Ier dass Mathematiker 17. Joerhonnert. ganz kloer a flou Iddi vun e puer infinitesimal "undivided" vun all bekannt Funktioun, vertrëtt eng ganz kleng konstante Wäert awer net gläich ze null, ënnert déi Wäerter der Funktioun kann net einfach benotzt. Dofir war et nëmmen eng Etapp an der Aféierung vu Mataarbechter vun infinitesimal Soue vun Funktioun Argumenter an hir jeeweileg Soue vun de Funktiounen déi am Sënn vun dësem Projet vun der Pai ausdrécke kann. A war dës Schrëtt bal gläichzäiteg d'virun zwou grouss Wëssenschaftler geholl.

Baséiert op der brauch dréngend praktesch Mechanik Problemer ze Adress datt Wëssenschaft séier Entwécklungslänner Industrie an Technologie getraff, Newton an representéiert hunn d'gemeinsam Weeër vum Taux vun Verännerung vun Funktiounen fannen (besonnesch wat de mechanesch Vitesse vum Kierper vun der bekannt trajectory), déi zu der Aféierung vun esou Konzepter gefouert, wéi d'ADR Funktioun an der differentiell, an fonnt och de Algorithmus ëmgedréit, et gesäit Problem Léisunge wéi bekannt pro se (Variabel) doud traversed de Wee ze fannen, déi op d'Konzept vun integral gefouert huet Ala.

An de Wierker vun Iddi representéiert an Newton d'éischt wossten et datt d'Differenzielle - un der increment vun der Basis Argumenter proportional ass Δh Soue Δu Funktiounen dass erfollegräich de Wäert vun der Pai ze berechnen applizéiert gin kann. An anere Wierder, hun se entdeckt, datt en increment Funktioun zu all Punkt kann (bannen seng Domain vun Definitioun) duerch seng kuckt virdrun souwuel Δu = y "(x) Δh + αΔh wou α Δh ausgedréckt ass - Rescht, bis null als Δh → dackste 0, vill méi séier wéi den aktuellen Δh.

No de Grënner vun mathematesch Analyse, d'Differenzielle - dat ass genee déi éischt Begrëff am Soue vun all Funktiounen. Och ouni kloer definéiert Limite Konzept Message no intuitiv verstane ginn datt d'differentiell Wäert vun der ADR zu Funktioun hautdësdaags wann Δh → 0 - Δu / Δh → y "(x).

Géigesaz Newton, dee virun allem e Physiker a mathematesch Staatsapparat als eng Weibëschof Outil fir d'Etude vun kierperlech Problemer gouf, bezuelt representéiert méi Opmierksamkeet op dës toolkit, dorënner e System vun visuell a verständlech Symboler mathematesch Wäerter. Et war hien déi de Standard mellen vun Differenzielle Funktioun gekierzt = y "(x) dx, dx, an d'ADR vun der Argument Funktioun als hir Relatioun y" (x) = gekierzt / dx proposéiert.

Déi modern Definitioun

Wat ass den Ënnerscheed zu Begrëffer vun modern Mathematik? Et ass enk un d'Konzept vun engem Variabel increment dinn. Wann der Variabel ass y engem éischte Wäert vun y y = _1, da = y y _2, d'Differenz y ₂ ─ y ₁ ass de increment Wäert y genannt. D'increment kënne positiv sinn. negativ an null. D'Wuert "increment" ass designéierte Δ, Δu Opnahmen (gelies "DELTA y ') ADR de Wäert vun der increment y. sou Δu = y ₂ ─ y _1.

Wann de Wäert Δu arbiträr Funktioun y = f (x) kënnen als Δu = A Δh + α vertruede ginn, wou A keng Ofhängegkeet op Δh ass, t. E. A = const fir ausgewielten x, an de Begrëff α wann Δh → 0 trëtt un et ass nach méi séier wéi den aktuellen Δh, dann déi éischt ( "Meeschter") e Begrëff proportional Δh, an ass fir y = f (x) differentiell, mat gekierzt oder DF (x) ( "y de", "de EFF aus X" liesen). Dofir Differenzielle - eng "Haapt" linear mat Respekt un d'Komponente vun Soue Δh Funktiounen.

mechanesch Erklärung

Loosst s = f (t) - d'Distanz an enger riichter Linn Plënneren Material Punkt vun der éischter Positioun (T - reesen Zäit). Increment Δs - ass de Wee Punkt während enger Zäit November Δt, an der differentiell DS = f "(t) Δt - dëse Wee, dee Punkt fir de selwechter Zäit ofgehale ginn géif Δt, wann et der Vitesse f erëmgewielt" (t), op Zäit net erreecht . Wann eng infinitesimal Δt DS Ënnerscheed imaginär Wee aus der aktueller Δs infinitesimally enger héijer Uerdnung mat Respekt ze Δt mussen. Wann d'Vitesse an der Zäit net ze null net gläich ass, gëtt de geschätzte Wäert DS kleng Schold vu senge Politiker Punkt.

geometreschen Interpretatioun

Loosst d'Linn L der Grafik vun y = f (x) ass. Da Δ x = MQ, Δu = QM "(kuckt. Well ënnen). Tangent Punktzuel Break Δu an zwee Deeler Géigewier, QN an NM ". Éischt an Δh ass proportional QN = MQ ∙ TG (Wénkel QMN) = Δh f "(x), t. E QN ass gekierzt differentiell.

Den zweeten Deel vun der Differenz Δu NM'daet ─ gekierzt, wann Δh → 0 NM Längt 'Verloschter och méi séier wéi de increment vun der Argument, dh et der Uerdnung vun smallness héich wéi Δh huet. An dësem Fall, wann f "(x) ≠ 0 (Net-parallel tangent Ochs) Segmenter QM'i QN gläichwäerteg; an anere Wierder NM 'Verloschter séier (Commande vun smallness vu sengem héich) wéi den Total increment Δu = QM ". Dat ass evident an Well (verbitt Segment M'k M NM'sostavlyaet all kleng Prozentsaz QM "Segment).

Also differentiell graphically arbiträr Funktioun un der increment vun der koordinéieren vun der tangent selwecht ass.

Kuckt virdrun an differentiell

A Faktor am éischte Begrëff vun Ausdrock increment Funktioun ass fir de Wäert vu senger kuckt virdrun f "(x) gläich. Sou, den folgenden Relatioun - gekierzt = f (x) Δh oder DF (x) = f (x) Δh.

Et ass bekannt, datt d'increment vun der onofhängeg Argument fir seng differentiell Δh = dx selwecht ass. Anere Wierder, kënne mir schreiwen: f "(x) dx = gekierzt.

Fannen Differenzielle (heiansdo de "Decisioun" gesot gin) ass déi selwecht Regelen, wéi fir de Projet gesuergt. Eng Lëscht vun hinnen ass ënnert entscheet.

Wat ass méi universell: de increment vun der Argument oder seng differentiell

Hei ass et noutwendeg puer Bierger ze maachen. Representatioun Wäert f "(x) differentiell Δh méiglech wann x als Argument que. Mä d'Funktioun kann eng komplex ginn, an déi x eng Funktioun vun der Argument t kann. Da der Representatioun vun der differentiell Ausdrock vun f "(x) Δh, als Regel, ass et onméiglech; ausser am Fall vun linear Ofhängegkeet x = op + b.

Wéi op d'Formule f "(x) dx = gekierzt, dann am Fall vun onofhängeg Argument x (dann dx = Δh) am Fall vun der parametric Ofhängegkeet vun x net, ass et differentiell.

Zum Beispill, ass den Ausdrock 2 x Δh fir y = x ² seng differentiell wann x en Argument ass. Mir elo x = t ² an t Argument huelen. Da y = x ² = T ^4.

Dëst ass duerno (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Dofir Δh = 2tΔt + Δt ^2. Dofir: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Dësen Ausdrock ass net proportional zu Δt, an dofir ass elo 2xΔh ass net differentiell. Et kann aus der Equatioun y = x ² = T ⁴ fonnt ^ginn. Et ass dee selwechte gekierzt = 4t ³ Δt.

Wa mir den Ausdrock 2xdx huelen, ass et de differentiell y = x ² fir all Argument net. Jo, wann x = t ² kritt dx = 2tΔt.

Sou 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Den Ausdrock Differenzielle opgeholl vun zwou verschiddene Verännerlechen noutwennegerweis.

Urode Soue Differenzielle

Wann f "(x) ≠ 0, da Δu a gekierzt gläichwäerteg (wann Δh → 0); wann f "(x) = 0 (Bedeitung a gekierzt = 0), sinn si net gleichgestallt.

Zum Beispill, wann y = x ^2, da Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² a gekierzt = 2xΔh. Wann x = 3, dann hu mir Δu = 6Δh + Δh ² a gekierzt = 6Δh datt gläichwäerteg wéinst Δh sinn ² → 0, wann x = 0 Wäert Δu = Δh ² a gekierzt = 0 net gläichwäerteg sinn.

Dës Tatsaach, zesumme mat der einfach Struktur vun der differentiell (m. E. Linearity mat Respekt ze Δh), ass dacks zu geschätzte berechent, op der Virgab, dass Δu ≈ gekierzt fir kleng Δh benotzt. Op ee Bléck de differentiell Funktioun ass normalerweis méi einfach wéi déi genee Wäert vun der increment ze berechnen.

Zum Beispill, hunn mir Metallkugele drëtter Potenz mat Wäitschoss x = 10.00 cm. Op der Südsäit op Δh laangwiereg Heizung = 0,001 cm. Wéi fräi Volume drëtter Potenz V? Mir hunn V = x ^2, sou datt DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Februar 0/01 = 3 (cm ^3). Fräi ΔV gläichwäerteg differentiell DV, sou datt ΔV = 3 cm ^3. Voll Berechnung géif ginn ³ ΔV = 10,01 ─ Mäerz ¹⁰ = 3.003001. Mä d'Resultat vun all Ziffere ausser déi éischt unreliable; also, ass et nach néideg bis 3 cm ³ bis Ronn ^weider.

Selbstverständlech, ass dës Approche nëtzlech nëmmen wann et méiglech ass de Wäert mat Feeler imparted ze schätzen.

Differentiell Funktioun: Beispiller

Loosst d'probéieren de differentiell vun der Funktioun y = x ^3, fannen d'ADR ze fannen. Loosst eis d'Argument increment Δu ginn an definéieren.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Hei, et der souguer gemaach A = 3x ² net op Δh hänkt, sou datt déi éischt Begrëff proportional Δh ass, déi aner Member 3xΔh Δh ² + ³ wann Δh → 0 Verloschter méi séier wéi de increment vun der Argument. Doduercher, ass e Member vun 3x ² Δh der differentiell vun y = x ^3:

gekierzt = 3x ² Δh = 3x ² dx oder d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Soziokulturellem d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Gekierzt Mir fannen elo d'Funktioun y = 1 / x vun der ADR. Dann d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Dofir gekierzt = ─ Δh / x ^2.

Differenzielle Basis glécklech Funktiounen sinn entscheet ënnendrënner.

Geschätzte Berechnungen differentiell benotzt

Fir d'Funktioun f (x) diskutéieren, a seng kuckt virdrun f "(x) am x = engem oft schwéier ass, mä déi selwecht an der Géigend vun x = e bis do ass net einfach. Da kommt op d'Hëllef vun der geschätzte Ausdrock

f (e + Δh) ≈ f "(e) Δh + f (e).

Dat gëtt e geschätzte Wäert vun der Funktioun am klenge Soue duerch seng differentiell Δh f "(e) Δh.

Dofir, gëtt dës Formule e geschätzte Ausdrock fir d'Funktioun um Enn Punkt vun engem Deel vun enger Längt Δh als Zomm vu sengem Wäert um Start Punkt vum Deel (x = e) an der differentiell am selwechten Startpunkt. Richtegkeet vun der Method fir Bestëmmung vun der Wäerter vun der Funktioun illustréiert ënnert d'Zeechnen.

Ee bekannt an der exakt Ausdrock fir de Wäert vun der Funktioun x = e + Δh entscheet vun Formule Haapt Soue (oder, alternativ, Lagrange d'Formule)

f (e + Δh) ≈ f "(ξ) Δh + f (e),

wou de Punkt x = e + ξ am November ass aus x = e bis x = e + Δh, obwuel seng exakt Positioun ass onbekannt. Déi genee Formule erméiglecht de Feeler vun der geschätzte Formule ze diskutéieren. Wann mir no am Lagrange Formule ξ = Δh / 2, obwuel et Pauly korrekt ze sinn, mä gëtt, als Regel, eng vill besser Approche wéi am Original Ausdrock wat vun der differentiell.

Evaluatioun Formelen Feeler vun differentiell Kandidatur

Miessunge Instrumenter , am Prinzip, exakt, an eis op d'Moosse Daten un de Feeler entspriechend. Si deems charakteriséiert der absolute Feeler, oder, bref, d'Limite Feeler - positiv, haut eenzegaarteg an der Fehler an absolute Wäert Iwwerschreiden (oder am meeschte t'selwecht ass). Limitéieren der relativer Feeler ass de quotient vun deelt et duerch den absolute Wäert vun der gemooss Wäert kritt genannt.

Loosst genee Formule y = f (x) Funktioun ze vychislyaeniya y benotzt, mä de Wäert vun x ass d'Moosse Resultat, an dofir bréngt de y Fehler. Dunn, de limitéieren absolute Feeler │Δu│funktsii y ze fannen, déi Formule benotzen

│Δu│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δh│,

wou │Δh│yavlyaetsya marginalen Feeler Argument. │Δu│ Quantitéit muss fänkt ofgerënnt ginn, wéi exakt Berechnung selwer ass den Ersatz vun der increment op der differentiell Berechnung.