Geometreschen Werdegang. Beispill soll Decisioun

Betruecht eng Zeil.

7 28 112 448 1792 ...

Ganz kloer weist, dass de Wäert vun all vun hiren Elementer méi wéi déi virdrun genau véiermol. Also ass dës Serie engem Werdegang.

ADR Werdegang genannt onendlech Haaptrei vun Zuelen, ass den Haaptgrond Fonktioun vun deenen déi folgend Nummer aus dem uewe kritt ass duerch déi puer definitive Zuel multiplizéieren. Dëst ass duerch déi folgend Formule ausgedréckt.

_{engem Z +1 = e Z · q} , wou Z - Nummer vun der gewielter Element.

Anere Wierder, Z ∈ N.

Eng Zäit, wou d'Schoul geometreschen Werdegang studéiert ass - 9. Schouljoer. Beispiller hëlleft d'Konzept verstoen:

0,25 0.125 0.0625 ...

18. Februar 6 ...

Baséiert op dëser Formule, kann de Werdegang vun der zäitlech fonnt ginn wéi follegt:

Weder q, oder b _Z kann net sinn null. Och, jiddereng vun den Elementer vun enger Serie vun Zuelen Werdegang sollt net null ginn.

Anere Wierder, déi nächst Nummer vun enger Nummer ze gesinn, deen duerch q ëmmer méi intensivéiert.

Fir dëst Werdegang definéieren, musst Dir déi éischt Element vun et uginn an der zäitlech. Duerno ass et méiglech eng vun de folgende Memberen an hir Quantitéit ze fannen.

Arten

Jee no der q an engem _1, ass dëse Werdegang an verschidden Typen ënnerdeelt:

• Wann eng _1, a q ass méi grouss wéi eent, da engem Haaptrei - mat all successive Element vun engem geometreschen Werdegang waarden. Beispiller zielt ginn ënnert detailléiert.

Beispill: eng ₁ = 3, q = 2 - méi grouss wéi Unitéit, souwuel Parameteren.

Da kann e Haaptrei vun Zuelen esou geschriwwe ginn:

3 6 12 24 48 ...

• Wann | q | manner wéi een, dat heescht, ass et zu ëmmer méi vun Divisioun gleichgestallt, de Werdegang mat ähnleche Konditiounen - geometreschen Werdegang falender. Beispiller zielt ginn ënnert detailléiert.

Beispill: eng ₁ = 6, q = 1/3 - eng ₁ ass méi grouss wéi eent, q - manner.

Da kann e Haaptrei vun Zuelen geschriwwe ginn wéi follegt:

2 6 2/3 ... - all Element méi Elementer folgende et, ass 3 mol.

• Ofwiesselnd. Wann q <0, d'Zeeche vun der Zuel vun der Haaptrei ofwiesselnd ëmmer egal engem _1, an d'Elementer vun all méi oder erofgoen.

Beispill: eng ₁ = -3, q = -2 - sinn souwuel manner wéi null.

Da kann e Haaptrei vun Zuelen esou geschriwwe ginn:

3, 6, -12, 24, ...

Formule

Fir praktesch benotzen, sinn et vill geometreschen progressions vun der Formelen:

• Formel Z-September Begrëff. Et erlaabt d'Berechnung vun der Element an engem spezifeschen Zuel ouni de fréiere Zuelen oofhalen.

Beispill: Q = 3, engem = ₁ 4. eng véiert Element Werdegang ze berechnen néideg.

Léisung: eng = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• Der Zomm vun den éischten Elementer, deenen hir Zuel ass gläich ze Z. Et erlaabt d'Berechnung vun der Zomm vun all Elementer vun enger Haaptrei un enger _Z inklusiv.

≠ 0, also, q ass net 1 - (q 1) Zënter (1- q) am zäitlech ass, dann.

Opgepasst: wann q = 1, da géif de Werdegang eng Rei vun Flugdauer der Zuel Widderhuelung vertrueden hunn.

Betrag exponentially Beispiller: eng ₁ = 2, q = -2. Berechent S _5.

Léisung: S ₅ = 22 - Berechnung Formule.

• Betrag wann | q | <1 a wann Z trëtt zu Infinity.

Beispill: eng ₁ = _2, q = 0,5. Op ee Bléck d'Zomm.

Léisung: S _Z = 2 x = 4

Wa mir d'Zomm vun e puer Memberen vun der manuell Berechent, gesitt Dir, datt et jo bis véier engagéiert ass.

S _Z = 1 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

Verschidden Eegeschaften:

• A charakteristesche Propriétéit. Wann déi folgend Zoustand Et hält fir all Z, da engem z'identifizéieren Serie ginn - e geometreschen Werdegang:

engem _Z ² = A _{Z -1} · A _{Z + 1}

• Et ass och d'Plaz vun all Zuel ass exponentially vun heescht vun Zousätzlech vun de Felder vun der aner zwou Zuelen an all entscheet Stéck, wann se aus dem Element equidistant sinn.

² engem _Z = e _{Z - t} ² ₊ engem _Z + _t ² wou t - d'Distanz tëscht dësen Zuelen.

• D'Elementer ënnerscheeden vun q mol.
• D'logarithms vun den Elementer vun Werdegang Form wéi och e Werdegang, mä d'Mathematik, dat heescht, all vun hinnen méi wéi déi virdrun ee vun engem bestëmmten Zuel.

Beispiller vun e puer klassesch Problemer

Fir besser verstoen wat engem geometreschen Werdegang, mat der Decisioun Beispiller fir Schouljoer 9 hëllefe kann.

• Conditiounen: eng ₁ = 3, eng ₃ = Q48 Bléck q.

Léisung: all successive Element an méi wéi virdrun q Zäit. Et ass néideg puer Elementer duerch aner via zäitlech ze auszedrécken.

Doduercher, eng ₃ = q ² · engem ₁

Wann substituting q = 4

• Konditiounen: eng ₂ = 6, e = ₃ 12. Berechent S _6.

Léisung: dëst ze maachen, suffices et q, déi éischt Element an Ersatz an der Formel ze fannen.

engem ₃ = q · engem _{2 doduercher,} q = 2

engem ₂ = q · A _1, esou engem = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Op ee Bléck de véiert Element vun Werdegang.

Léisung: et ass genuch de véiert Element duerch d'éischt an duerch déi zäitlech ze auszedrécken.

₄ engem ³ = q · engem = ₁ -80

Applikatioun Beispill:

• Bank Client huet d'Zomm vun 10.000 Rubelen bäigedroen, ënnert déi all Joer den Optraggiewer dem Haapt Betrag wäert wann 6% vun et dobäi ginn. Wéi vill Geld ass am Kont no 4 Joer?

Léisung: D'initial Betrag gläich bis 10 dausend ewechzekréien. Also, am Joer no der Investitiounen an de Kont wäert de Betrag t'selwecht 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Anere Wierder, gëtt de Betrag vun der Kont souguer no ee Joer wéi follegt ausgedréckt ginn:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Dat ass, all Joer d'Quantitéit un 1,06 mol fräi. Dofir, d'Zuel vun de Kont no 4 Joer ze fannen, suffices et e véiert Element Werdegang ze fannen, déi zu 10 dausend gläichberechtegt éischt Element ginn ass, an der zäitlech t'selwecht 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Beispiller vu Problemer an der Berechnung vun der Zomm vun:

An verschidde Problemer mat geometreschen Werdegang. E Beispill vun der Zomm fannen kann virbereet ginn wéi follegt:

engem ₁ = 4, q = 2, Berechent S _5.

Léisung: all déi néideg Daten fir d'Berechnung bekannt sinn, einfach hinnen an der Formel Auswiesselspiller.

S ₅ = 124

• engem ₂ = 6, e = ₃ 18. Berechent der Zomm vun den éischte sechs Elementer.

Léisung:

D'Geom. de Fortschrëtt vun all Element vun déi nächst grouss wéi déi virdrun q mol, datt, ass d'Quantitéit ze berechnen Dir braucht der Element eng ₁ an der zäitlech q wëssen.

engem ₂ · Q = eng ₃

Q = 3

Den Zerfall, fir de Besoin eng _1, engem ₂ an wëssen q fannen.

engem ₁ · Q = engem ₂

engem ₁ = 2

An dann suffices et der bekannt Daten an der Formel Quantitéit ze Auswiesselspiller.

S ₆ = 728.