Maclaurin an decomposition vun e puer Funktiounen

fortgeschratt Mathematik studéiert soll bewosst ginn, dass d'Zomm vun enger Muecht Serie am November Unnäherung vun enger Rei vun eis, ass eng kontinuéierlech a onlimitéiert Zuel vun Mol ënnerscheet Funktioun. D'Fro Ressort: ass et méiglech, datt entscheet eng arbiträr Funktioun f ze streiden (x) - ass d'Zomm vun enger Muecht Serie? Dat ass, ënner wat fir Bedingungen d'f-géinteniwwer f (x) kann duerch eng Muecht Serie vertruede ginn? Der Wichtegkeet vun dëser Problem ass, datt et méiglech ass ongeféier £ theologeschen f (x) ass d'Zomm vun den éischte puer Conditioune vun enger Muecht Serie ze schounen, dat ass eng polynomial. Esou engem Ersatz Funktioun ass relativ einfach Ausdrock - polynomial - ass praktesch a bestëmmte Problemer zu Problemer am mathematesch Analyse, nämlech integrals an léisen wann oofhalen Differentialequatiounen , etc ...

Et ass bewisen, datt fir e puer f-II f (x), Hellef de Projet vun der (n + 1) -th Fir berechent ginn, dorënner déi neisten an der Géigend vu (α - R; x ₀ + R) vun engem Punkt x = α fair Formule ass:

Dës Formel ass no der berühmte Wëssenschaftler Brooke Taylor genannt. Eng Zuel vun deenen aus dem virdrun ee ofgeleet ass, ass eng Maclaurin Serie genannt:

Eng Regel, déi et méiglech mécht Expansioun an engem Maclaurin Serie ze produzéieren:

1. Bestëmmen dësem Projet vum éischten, zweeten, drëtten, ... Uerdnung.
2. Berechent wat dësem Projet um x = 0 sinn.
3. Rekord Maclaurin Serie fir dës Funktioun, an dann de November Konvergenz ze bestëmmen.
4. Bestëmmen November (-R; R), wou de Reschtoffall Deel vun Formule Maclaurin

R _n (x) -> 0 fir n -> Infinity. Wann een existéiert, muss et Funktioun f (x) un der Zomm vun der Maclaurin Serie selwecht ginn.

Betruecht elo d'Maclaurin Serie fir déi eenzel Funktiounen.

1. Sou, déi éischt f (x) = E ^{x gin.} Natierlech, datt hir Charakteristiken sou f-IA engem ville Stänn a f ^{(K) (x)} = E ^x ofgeleet ^ass, wou K bis all gläich ass de natierlechen Zuelen. Auswiesselspiller x = 0. Mir kréien f ^{(K) (0)} = E ⁰ = 1, k = 1,2 ... Baséierend op gëtt vergiess, eng Rei vu E ^x Et wäert wéi follegt:

2. Maclaurin Serie fir d'Funktioun f (x) = Sënn x. uginn direkt datt f-géinteniwwer fir all onbekannt dësem Projet hu wäerten, nieft f ^"(x) = Cos x = Sënn (x + n / 2), ^{f '' (x)} = -sin x = Sënn (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(K) (x)} = Sënn (x + N * k / 2), woubäi k un all positiven ganz selwecht ass. Dat ass, einfach Berechnungen Mëtt spazéieren, kënne mir schléissen, datt d'Serie fir f (x) = Sënn x esou ginn:

3. Schwätze mer elo iju f-f (x) = Cos x betruecht. Et ass onbekannt fir all Projet vun arbiträr Uerdnung, an ^{| f (K) (x)} | = | Cos (x + K * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... neits, et puer Berechnungen huet mussen, fannen mir dass d'Serie fir f (x) = x Cos esou Wanterschlof wäerten:

Also hu mir déi wichtegst Fonctiounen opgezielt, dass an engem Maclaurin Serie erweidert ginn, mä si komplementar der Taylor Serie fir verschidde Funktiounen. Elo wäerte mir hinnen och Lëscht. Et soll och gesot ginn, datt Taylor Serie an Maclaurin Serie e wichtege Bestanddeel vun der Workshop Serie vun Décisiounen an héich Mathematik ginn. Also Taylor Serie.

1. Déi éischt ass eng Serie vun f-II f (x) = Am (1 + x). Wéi an der viregter Beispiller, fir dat mir f (x) = Am (1 + x) kann eng Rei opgeblosen ginn, déi allgemeng Form vun Maclaurin Serie benotzt. mä fir dës Fonktioun Maclaurin kann vill méi einfach kritt ginn. Integréiert engem geometreschen Serie, kréien mir eng Rei fir f (x) = Am (1 + x) vun der Prouf:

2. An der zweeter, déi an dësem Artikel Finale ginn, gëtt eng Serie fir f (x) = arctg x ginn. Fir x de November gehéiert [-1; 1] ass valabel decomposition:

Dat ass alles. An dësem Artikel Ech hunn am meeschte benotzt Taylor Serie an Maclaurin Serie an héich Mathematik, besonnesch an der Wirtschafts- an technesch Universitéitsprofesser vermooss.